평면 위에서 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도하는 방법은 여러가지가 있지만 여기서는 미분을 이용한 방법을 알아보자. 평면 위의 직선을 \(ax+by+c=0\), \(a\ne 0\) or \(b \ne 0\),으로 표현하고 이 직선으로부터의 거리를 구할 임의의 점을 \((m,n)\)이라 두자. 직선 위의 임의의 점 \((x,y)\)와 점 \((m,n)\) 사이의 거리를 \(r\)이라 두면 \(r\)은 다음과 같은 관계를 만족한다.
\begin{align}r^{2} = (x-m)^2 + (y-n)^{2}. \tag{1}\end{align}
직관적으로 \(r^{2}\)은 하나의 최소값만을 가짐을 알 수 있다. 이제 \(y = (-ax-c)/b\)를 식 (1)에 대입하면
\begin{align}r^{2} = (x-m)^2 + \left(\frac{-ax-c}{b}-n\right)^{2} \tag{2} \end{align}
이고 이를 \(x\)에 대해 미분하면 다음과 같은 관계를 얻는다.
\begin{align} \frac{d(r^{2})}{dx} = 2(x-m) + 2\left(\frac{-ax-c}{b} - n\right)\frac{-a}{b}. \tag{3} \end{align}
이제 식 (3)의 우변을 0과 같다고 놓고 \(x\)에 대해 풀면 \(x = (-ac+b^{2}m-abn)/(a^2 + b^2)\)을 얻는다. 따라서, 구한 \(x\)를 식 (2)에 대입하면 다음을 얻는다.
\begin{align*}
r = \frac{|am + bn + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.
\end{align*}
