평범한 학생의 공부방

확률변수 \(K\)의 확률분포함수가 \[f_{K}(k)=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}\] 로 주어지는 경우 평균과 분산을 구해본다. 평균을 \(E[K] = \bar{K}\)라 하면 \(\bar{K}\)는 다음과 같다. \[\bar{K} = \sum_{k=0}^{n}kf_{K}(k).\] 여기서는 미분을 이용해 이 값을 구해보도록 한다. \[(x+q)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k}\] 의 양변을 \(x\)에 대해 미분하고 \(x\)를 곱하면 \begin{align}nx(x+q)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k} \tag{1} \end{align}이다. 여기서 \(x = p\)를 대입하면 \(p+q = 1\)이고 (1)의 우변은 \(\bar{K}\)이므로 \(\bar{K} = np\)이다. 한편 분산은 다음과 관계를 만족함이 알려져 있다. \[\sigma_{K}^{2} = E[K^{2}]-\bar{K}^{2}.\]여기서 \(\bar{K}\)는 이미 구했으므로 \(E[K^{2}]\)를 구하도록 한다. \[E[K^{2}] = \sum_{k=0}^{n}k^{2}f_{K}(k).\] 이고 이를 찾기 위해 (1)의 양변을 \(x\)에 대해 한 번 더 미분하고 다시 \(x\)를 곱하면 다음과 같다. \[nx(x+q)^{n-1} + n(n-1)x^{2}(x+q)^{n-2} = \sum_{k=0}^{n}k^{2}\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k}.\] 이제 \(x = p\)를 대입하면 \(p+q = 1\)이므로 이를 정리하면 다음과 같다. \[E[K^{2}] = \sum_{k=0}^{n}k^{2}\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k} = np+n^{2}p^{2}-np^{2}.\] 따라서 분산은 다음과 같다. \[\sigma_{K}^{2} = E[K^{2}]-\bar{K}^{2} = (np+n^{2}p^{2}-np^{2})-(np)^{2} = np(1-p) = npq.\]

[출처] 물리학 신입생에게|작성자 온자연

'내가 만약 물리학 신입생이 된다면' 이라는 쓸데없는 가정을 피하고 -_-

후배들에게 건네는 물리학 추천 도서 목록은 아래와 같습니다.

(이 포스트는 진화할 예정이니 코멘트 언제나처럼 웰컴입니다)

1학년 : 딱 Feynman의 'Lectures on Physics' 3권만 충분히 즐겨도 모자람이 없음 (이후 4년 내내 즐길수 있는 책). 연습 문제는 다른 '일반물리'책을 통해 풀면 됨.

2학년 : 국내 유수 대학과 미국 유수 대학의 커리큘럼을 따르자면, 역학, 전자기학, 수리물리 등이 필수 과목. 역학은 Marion & Thornton의 책이 무난하지만, 앞부분이 약간 지겨울 수 있음. Simon의 책도 무난하게 추천할 수 있는데, 조금 더 물리적이고 어려움. 하지만, 무엇보다 Landau의 Mechanics를 읽게 된다면 ... 그 엘레강트한  ㅜoㅜ 스토리 전개에 감동 받지 아니할 수 없음. 강단있는 학생이라면, 1학년 때 Feynman의 책을 읽고 바로 한번 뒤적거려보는 것도 좋을듯. 전자기학은 Griffiths의 책을 강력 추천. 이렇게 쉽게 쓴 전자기학 책, 또 있나? 없을껄. 수리물리는 Arfken. Arfken의 책이 물리적 상황에 적용되는 수학을 잘 보여주는 것 같음 (Boas에 비해). 아, 그리고 현대물리학에서 양자역학을 살짝 둘러보게 되는데, 이 때부터 3학년 양자역학 들을때까지 아주 도움이 될 책이 있으니, Eisberg & Resnick의 Quantum Physics of Atmos, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles란 책이다, 강추.

3학년 : 열/통계물리학과 양자역학이 필수. Reif 책은 열물리 관점에서 시작하고, Kittel 책은 통계관점에서 시작한다. 일장일단이 있을테지만, 어느 책을 먼저 보더라도, 후에 다른 책을 반드시 들춰볼 필요가 있음. 양자역학은 Griffiths의 책을 강력 추천. 양자역학은 좋은 교과서가 무지 많지만, 그 중 Griffiths가 처음 배우는 사람이 가장 무난하게 이해할 수 있도록 씌여졌다. 앞서 전자기학을 쓴 그 Griffiths랑 동일 인물. 클래식으로 분류되는 양자역학 교과서로는 Merzbacher와 Schiff가 있다. 두 책 모두 Griffiths보다는 약간 수준이 높다. 더 알고 싶은 부분이 있을때 들춰보는것도 좋을듯. 다른 많은 책들이 이 두 권의 철학아래 파생되어 나왔다고 이야기할수 있을정도. 하지만, 하지만 달라도 뭔가 다른, 걸작이 있으니, 바로 Dirac의 양자역학 책이다. 이론이라는게 어떻게 전개되어 나가는지를 볼수 있는 기회. 탄탄한 논리로 차근차근 양자역학을 만들어간다.

4학년 : 광학, 입자물리학, 상대론, 응집물리학, 생물물리학 중 보통 선택해 듣지만 ... 다 들어야 되지 않겠나?

미국에서 예전에 이공계 대학 1,2학년들을 대상으로 한 물리 교재 개발이 붐이었던 적이 있다. 그 결과물 중 Berkeley series와 MIT series가 특히 유명하다. 둘 모두 Mechanics, Electromagnetism, Quantum Mechanics, Thermal and Statistical Phyiscs, Waves 등에 대한 책들을 내놓았고, MIT 시리즈에는 Relativity가 추가되어 있다. 이제는 old 한 느낌을 주기도 하지만, 이 중 많은 책이 아직도 당당하게 사용되고 있고, 실제로도 굉장히 좋은 책들이다.

이론물리학의 거의 모든 분야를 망라한 Landau & Lifshitz series는 단연 걸작들이다. 특히, Mechanics, Statistical Physics, Quantum Mechanics, Classical Theory of Fields 등은 현재도 두고두고 읽혀지고 있다. 새로운 과목을 배울 때마다 Landau의 관련 책을 들추게 되는. Landau의 책은 'lucid'와 'pedagogical'이란 두 단어로 요약된다.

너무도 유명한 Feynman Lectures on Physics 은 1학년 때부터 내내 옆에 두고 즐길 수 있는 책이다. 좋은 한글 번역판도 이제 나왔다.

* * * * *

정리해보면

고전역학 : Marion & Thornton (or Simon or any equivalent)

전자기학 : Griffiths

양자역학 : Griffiths , Resnick & Eisberg

수리물리학 : Arfken

열/통계역학 : Reif, Kittel

물리학일반 : Feynman

이상이 내가 생각하는 (최소한의) 이상적인 교과서 모음이다.

여기에 위에서 소개한 참고도서 중 한 두권을 적절히 활용한다면 좋을 것이다.

* * * * *

뒷글에 galley16님께서 소개하신 위키피디아는 인터넷 시대의 보물이라고 해도 과언이 아닐테죠. 사실 물리학과 관련된 거의 모든 내용도 여기에 들어있습니다. 놀라운 것은 각 개념에 대해 교과서 수준의 자세한 설명들이 함께한다는 사실입니다. 누구나 수정할 수 있는 위키가 이렇게 잘 조직되고 상세한 내용을 포함할 수 있다는 사실은 21세기를 사는 사람들이 얻게된 새로운 통찰중의 하나가 아닐까요? :)

책을 찾기 번거로울때 위키피디아를 유용하게 사용할 수 있을 것 같습니다. 학부생에게는 어려움이 좀 있을것 같기는 하지만요.

물리학자들의 프로필도 꽤 많이 구할 수 있습니다. 현대를 주름잡는 많은 이론 물리학자들의 사진들은 (아마도 프로필도 함께) 옆에 링크되어있는 젊은 물리학자 Lubos Motl이 많은 기여를 한 것 같습니다.

* * * * *

물리학도들을 위한 또 하나의 유용한 인터넷 백과사전은

Erick Weisstein의 World of Science.

Mathematica를 만든 위대한 Wolfram 사이트에서 함께함.

출처 :츠쿠바대학한국유학생 원문보기▶   글쓴이 : 최승혁

이메일을 사용하던 초창기에는 hanmail을 주로 사용하다가 최근 1년정도 전부터 gmail을 사용해오고 있다. 오늘은 gmail을 사용하던 중 재미있는 사실 한 가지를 발견했는데 구글의 세심한 배려가 느껴지는 부분이었다.

이메일을 사용하다 보면 종종 상대방에게 첨부파일을 빼먹고 보내지 않는 경우가 있다. 이럴 경우 상대방으로부터 답장이 오고 그 답장을 보고 다시 첨부파일을 보내기까지 시간을 낭비하게 되는데 gmail의 경우 메일 내용에 '첨부파일' 이라는 용어가 사용된 경우 첨부파일을 첨부하지 않으면 아래와 같은 메세지가 뜬다.

수학문제 푸는 동네 단무깡님 글 참조


clear all;
t = 0:0.001:1;
y = sin(2*pi*t);
plot(t,y); grid on;

h = gca; % 그래프의 x축 핸들을 얻음
set(h,'xtick',0:.25:1); % 얻은 핸들을 이용해 xtick값을 설정

for k = 1:length(y)-2
    y(k+2) = (2-2*T)*y(k+1) + (2*T-1-T^2)*y(k) + T^2*sin(k*T);
end

num = 1;
den = conv([1 2 1],[1 0 1]);
impulse(num,den); hold on;
axis([0 8 -1 1]); grid on;
plot(n,y,'o')

고등학교 3학년이 되어 심화 미적분을 배우면 삼각함수와 관련된 여러 공식들을 배우게 된다. 이들에 대한 자세한 유도는 책에 있지만 벡터의 내적을 이용한 증명이 가장 단순하고 기억하기 쉬운 것 같다.

코사인이나 사인에 관한 합차공식 중 아무거나 하나만 증명하면 나머지 공식들은 이로부터 우글우글 쏟아져 나오므로 맨 처음 시작만을 적겠다.

위와 같이 길이가 1인 두 벡터를 생각하자. 이제 두 벡터의 내적을 구하면

\(|1||1|\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta\) 

이다. \(\beta\) 대신에 \(-\beta\)를 대입하면 \(\cos(\alpha+\beta)\)에 대한 공식을 구할 수 있다. 다시 \(\beta\) 대신에 \(\beta-\pi/2\)를 대입하면 \(\sin(\alpha + \beta)\)에 대한 공식을 얻을 수 있다 (\(\cos(\theta-\pi/2) = \sin\theta\)이므로...). 이런 식으로 다른 공식들을 하나씩 증명해 나갈 수 있다.

090106 : 0.999...는 1? _ 알쏭달쏭한 무한 : http://navercast.naver.com/science/math/22
090113 : 4차원 세계 _ 수학으로 상상하기 : http://navercast.naver.com/science/math/45
090120 : 1+1이 2인 이유 _ 에디슨의 질문 : http://navercast.naver.com/science/math/68
090127 : 동양의 산학 _ 우리 선조들의 수학 : http://navercast.naver.com/science/math/87

090203 : -1 x -1 = 1? _ 파스칼도 몰랐다 : http://navercast.naver.com/science/math/106
090210 : 소수가 뭐길래? _ 분해할 수 없는 수 : http://navercast.naver.com/science/math/127
090217 : 제논의 역설 _ 아킬레스와 거북이 : http://navercast.naver.com/science/math/144
090224 : 큰 수의 이름 _ 수의 이름 : http://navercast.naver.com/science/math/164

090303 : 1÷0은? _ 0으로 나누기 : http://navercast.naver.com/science/math/184
090310 : 원주율 π _ 특별한 수 : http://navercast.naver.com/science/math/204
090317 : 0의 0제곱은? _ 수학 생각하기 : http://navercast.naver.com/science/math/226
090324 : 작은 수의 이름 _ 수의 이름 : http://navercast.naver.com/science/math/245
090331 : 각뿔의 부피는? _ 이유를 따져보자 : http://navercast.naver.com/science/math/266

090407 : 바퀴는 점프한다 _ 아리스토텔레스 : http://navercast.naver.com/science/math/286
090414 : 소수의 무한성 _ 유클리드의 증명 : http://navercast.naver.com/science/math/304
090421 : 방정의 기원 _ 동양의 수학 : http://navercast.naver.com/science/math/350
090428 : 완벽한 지도? _ 수학으로 생각하기 : http://navercast.naver.com/science/math/370

090505 : 구두장이의 칼 _ 수학의 흥미 : http://navercast.naver.com/science/math/406
090512 : 루트2는 무리수 _ 무리수 이야기 : http://navercast.naver.com/science/math/438
090519 : 산학의 방정식 _ 동양의 수학 : http://navercast.naver.com/science/math/458
090526 : √2를 계산해보자 _ 수학으로 생각하기 : http://navercast.naver.com/science/math/503

090602 : 공룡의 속도 _ 수학의 흥미 : http://navercast.naver.com/science/math/531
090609 : 초월수 _ 무리수 이야기 : http://navercast.naver.com/science/math/561
090616 : 전통방정식풀이 _ 동양의 수학 : http://navercast.naver.com/science/math/616
090623 : 평균 _ 수학으로 생각하기 : http://navercast.naver.com/science/math/642
090630 : 택시기하학 _ 수학의 흥미 : http://navercast.naver.com/science/math/629

090707 : 오류정정 _ 수학의 쓸모 : http://navercast.naver.com/science/math/732
090714 : 영원한 수학 _ 수학의 보편성 : http://navercast.naver.com/science/math/778
090721 : 사이클로이드 _ 불화의 사과 : http://navercast.naver.com/science/math/807
090728 : 표준편차 _ 얼마나 흩어져있나 : http://navercast.naver.com/science/math/844

윈도우에서 파일을 오른쪽 클릭 한 후 첨부파일로 보낼 때 아웃룩 익스프레스로 연결되도록 하기 위한 설정법

아웃룩 익스프레스의 도구 - 옵션 - 일반 탭에서 "이 응용 프로그램은 기본 메일처리기가 아닙니다"라는 메세지 옆의 기본값으로 버튼을 눌러주고 적용하면 된다.

/***************************************************************
* 기능 : 사용자로부터 square matrix의 크기와 성분들을 입력받아
*   cofactor를 이용해determinant를 구함
* 입력 : square matrix의 크기, matrix의 성분들
* 출력 : 입력받은 matrix, matrix의 determinant*
*
* 작성일 : 09년 12월 07일
* 최종 수정일 : 09년 12월 07일
***************************************************************/

#include <stdio.h>  //입출력을 위한 헤더파일
#include <stdlib.h>  //dynamic memory 할당을 위한 헤더파일
#include <math.h>  //x^n을 계산하는 pow함수를 이용하기 위한 헤더파일

void InputMat(double **mat, int size);     //사용자로부터 matrix의 성분들을 입력받는 함수
void ShowMat(double **mat, int size);     //사용자로부터 입력받은 matrix를 출력하는 함수
double DetMat(double **mat, int size);     //matrix와 size를 입력받아 determinant를 반환하는 함수
double CofacMat(double **mat, int p, int q, int size); //matrix와 size, index를 입력받아 cofactor를 반환하는 함수

int main(void)
{
 int size=2;
 int i=0;
 double **mat;

 printf("Square matrix의 크기를 입력하세요 >>");
 scanf_s("%d", &size);

 //matrix의 dynamic memory 할당
 mat = (double**)malloc( sizeof(double*) * size );
 for (i=0 ; i<size ; i++) {
  mat[i] = (double*)malloc( sizeof(double) * size );
 }

 InputMat(mat, size);  //사용자로부터 matrix를 입력받음
 ShowMat(mat, size);   //입력받은 matrix를 출력함
 
 printf("\nDeterminant = %.2lf\n", DetMat(mat, size));

 //matrix의 dynamic memory 해제
 for (i=0 ; i<size ; i++) {
  free(mat[i]);
 }
 free(mat);
 return 0;
}

void InputMat(double **mat, int size) {
 int p=0, q=0;

 for (p=0; p<size; p++) {
  for (q=0; q<size; q++) {
   printf("row %d, column %d의 성분을 입력해 주세요 >>", p+1, q+1);
   scanf_s("%lf", &mat[p][q]);
  }
 }
}

void ShowMat(double **mat, int size) {
 int p=0, q=0;
 
 printf("matrix = \n");
 for (p=0; p<size; p++) {
  if (p == 0) {
   printf("┌");
  } else if(p == size-1) {
   printf("└");
  } else {
   printf("│");
  }

  for (q=0; q<size; q++) {
   printf(" %.2lf", mat[p][q]);
  }

  if (p == 0) {
   printf(" ┐\n");
  } else if(p == size-1) {
   printf(" ┘\n");
  } else {
   printf(" │\n");
  } 
 }
}

double DetMat(double **mat, int size) {
 int p=0, q=0;
 double det=0;

 if (size == 1) {   //determinant of 1 by 1 matrix
  return mat[0][0];
 } else if ( size == 2 ) { //determinant 2 by 2 matrix
  return mat[0][0]*mat[1][1] - mat[0][1]*mat[1][0];
 } else {     //3 by 3 이상
  for (q=0, det=0 ; q<size ; q++) {
   det = det + mat[0][q]*CofacMat(mat, 0, q, size);
  }
  return det;
 }
 return 0;
}

double CofacMat(double **mat, int p, int q, int size) {
 int i=0, j=0;  //인자로 받은 matrix의 index
 int x=0, y=0;  //cmat의 index
 double **cmat;
 double cofactor=0;
 
 //cofactor matrix의 dynamic memory 할당
 cmat = (double**)malloc( sizeof(double*) * (size-1) );
 for (i=0 ; i<(size-1) ; i++) {
  cmat[i] = (double*)malloc( sizeof(double) * (size-1) );
 }

 //mat으로 부터 cmat추출(cmat은 mat의 p행과 q열의 원소를 제외한 나머지 원소들로 구성된 matrix)
 for (i=0,x=0 ; i<size ; i++) {
  if (i != p) {
   for (j=0,y=0 ; j<size ; j++) {
    if (j != q) {
     cmat[x][y] = mat[i][j];
     y++;
    }
   }
   x++;
  }
 }
 
 //cofactor를 계산
 cofactor = pow(-1,p)*pow(-1,q)*DetMat(cmat,size-1);

 //cofactor matrix의 dynamic memory 해제
 for (i=0 ; i<(size-1) ; i++) {
  free(cmat[i]);
 }
 free(cmat);

 return cofactor;
}

소스

clear all
num = [1 3]; %전달함수의 분자의 계수
den = [1 3 2]; %전달함수의 분모의 계수
G = tf(num,den);
rlocus(G);
axis('equal'); %좌표축 간격을 일정하게 세팅

결과

소스

결과

clear all
syms t a b;
F = t^2 + sin(a*t) - t*cos(b*t);
L = laplace(F);
pretty(L);

결과