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삼각함수의 합차공식에 대한 증명
2010. 2. 3. 21:37 in
공부이야기/수학 이야기
고등학교 3학년이 되어 심화 미적분을 배우면 삼각함수와 관련된 여러 공식들을 배우게 된다. 이들에 대한 자세한 유도는 책에 있지만 벡터의 내적을 이용한 증명이 가장 단순하고 기억하기 쉬운 것 같다.
코사인이나 사인에 관한 합차공식 중 아무거나 하나만 증명하면 나머지 공식들은 이로부터 우글우글 쏟아져 나오므로 맨 처음 시작만을 적겠다.
위와 같이 길이가 1인 두 벡터를 생각하자. 이제 두 벡터의 내적을 구하면
|1||1|cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ|1||1|cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
이다. ββ 대신에 −β−β를 대입하면 cos(α+β)cos(α+β)에 대한 공식을 구할 수 있다. 다시 ββ 대신에 β−π/2β−π/2를 대입하면 sin(α+β)sin(α+β)에 대한 공식을 얻을 수 있다 (cos(θ−π/2)=sinθcos(θ−π/2)=sinθ이므로...). 이런 식으로 다른 공식들을 하나씩 증명해 나갈 수 있다.
