'공부이야기/수학 이야기'에 해당 되는 글 14건

  1. 2013.11.11 점과 직선 사이의 거리 공식: 벡터의 내적을 이용한 유도 4
  2. 2013.11.06 평면 위의 점과 직선 사이의 거리 공식: 미분을 이용한 유도 3
  3. 2013.08.23 수학 글쓰기 - 계승혁
  4. 2013.03.14 The Grammar According to West by Douglas B. West
  5. 2011.07.18 Hitler Learns Topology
  6. 2010.07.19 새로 바뀐 고등학교 수학 과목들(수갤 magicclaus님 글 펌)
  7. 2010.07.06 이항분포의 평균과 분산
  8. 2010.02.03 삼각함수의 합차공식에 대한 증명 2
  9. 2009.08.10 MIT Strang 교수님의 Linear Algebra 강의
  10. 2008.09.21 수식 문자모음
  11. 2008.08.24 시그마 k^2 을 구하는 공식
  12. 2008.04.13 미적분학의 기초
  13. 2008.04.13 선형대수의 기초
  14. 2008.03.07 벡터의 내적 1
2013. 11. 11. 09:52

점과 직선 사이의 거리 공식: 벡터의 내적을 이용한 유도

직선의 방정식 \(ax+by+c=0\)에서 \((a,b)\)는 직선에 수직인 방향의 벡터임을 이미 알고있다. 직선 위의 한 점 \((x,y)\)와 점 \((m,n)\)을 끝점으로 하는 벡터 \((x-m,y-n)\)을 생각하면 \((a,b)\)와 \((x-m,y-n)\)의 내적은 다음과 같다. \begin{align} \label{EQ:1} (x-m,y-n)\boldsymbol{\cdot}(a,b) = \|(x-m,y-n)\|\|(a,b)\|\cos\theta.\tag{1} \end{align} 직선과 점 \((m,n)\) 사이의 거리를 \(r\)이라 두면 \(r = \|(x-m,y-n)\| |\cos\theta|\)이므로 식 (\ref{EQ:1})의 양변에 절대값을 취하고 \(ax+by = -c\)임을 이용하여 정리하면 다음을 얻는다. \begin{align*} r = |(x-m,y-n)\boldsymbol{\cdot}(a,b)|\frac{1}{\|(a,b)\|} = \frac{|am+bn+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. \end{align*} 주로 많이 알려져 있는 삼각형의 넓이를 이용한 유도나 이전 포스팅에서 설명한 미분을 이용한 방법보다 훨씬 간단하고 식도 자연스럽게 받아들여진다. 하지만 이러한 간단함을 위해 벡터와 벡터의 내적이라는 개념을 알아야 하는 대가가 필요하다.

참고로 위의 결과를 3차원 공간에 존재하는 평면 \(ax+by+cz+d=0\)와 점 \((x_{1},y_{1},z_{1})\)으로 확장해도 마찬가지로 쉽게 점과 평면 사이의 거리를 구할 수 있다. 결과는 다음과 같다. \begin{align*} r = \frac{|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \end{align*} \(n\)차원 공간에서의 결과는 어떻게 되겠는가?

2013. 11. 6. 13:57

평면 위의 점과 직선 사이의 거리 공식: 미분을 이용한 유도



평면 위에서 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도하는 방법은 여러가지가 있지만 여기서는 미분을 이용한 방법을 알아보자. 평면 위의 직선을 \(ax+by+c=0\), \(a\ne 0\) or \(b \ne 0\),으로 표현하고 이 직선으로부터의 거리를 구할 임의의 점을 \((m,n)\)이라 두자. 직선 위의 임의의 점 \((x,y)\)와 점 \((m,n)\) 사이의 거리를 \(r\)이라 두면 \(r\)은 다음과 같은 관계를 만족한다. \begin{align}r^{2} = (x-m)^2 + (y-n)^{2}. \tag{1}\end{align} 직관적으로 \(r^{2}\)은 하나의 최소값만을 가짐을 알 수 있다. 이제 \(y = (-ax-c)/b\)를[각주:1] 식 (1)에 대입하면 \begin{align}r^{2} = (x-m)^2 + \left(\frac{-ax-c}{b}-n\right)^{2} \tag{2} \end{align} 이고 이를 \(x\)에 대해 미분하면 다음과 같은 관계를 얻는다. \begin{align} \frac{d(r^{2})}{dx} = 2(x-m) + 2\left(\frac{-ax-c}{b} - n\right)\frac{-a}{b}. \tag{3} \end{align} 이제 식 (3)의 우변을 0과 같다고 놓고 \(x\)에 대해 풀면 \(x = (-ac+b^{2}m-abn)/(a^2 + b^2)\)을 얻는다. 따라서, 구한 \(x\)를 식 (2)에 대입하면 다음을 얻는다. \begin{align*} r = \frac{|am + bn + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \end{align*}


  1. b=0인 경우는 점과 직선 사이의 거리는 |m+c/a|이므로 b≠0인 경우를 고려한다. [본문으로]
2013. 8. 23. 18:33

수학 글쓰기 - 계승혁

수학 글쓰기에 관한 서울대 계승혁 교수님의 글

http://www.math.snu.ac.kr/~kye/others/math_writing.html
2013. 3. 14. 19:52

The Grammar According to West by Douglas B. West

2011. 7. 18. 12:29

Hitler Learns Topology


2010. 7. 19. 14:59

새로 바뀐 고등학교 수학 과목들(수갤 magicclaus님 글 펌)

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매우 바람직한 변화라 사료됨
2010. 7. 6. 23:17

이항분포의 평균과 분산

확률변수 \(K\)의 확률분포함수가 \[f_{K}(k)=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}\] 로 주어지는 경우 평균과 분산을 구해본다. 평균을 \(E[K] = \bar{K}\)라 하면 \(\bar{K}\)는 다음과 같다. \[\bar{K} = \sum_{k=0}^{n}kf_{K}(k).\] 여기서는 미분을 이용해 이 값을 구해보도록 한다. \[(x+q)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k}\] 의 양변을 \(x\)에 대해 미분하고 \(x\)를 곱하면 \begin{align}nx(x+q)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k} \tag{1} \end{align}이다. 여기서 \(x = p\)를 대입하면 \(p+q = 1\)이고 (1)의 우변은 \(\bar{K}\)이므로 \(\bar{K} = np\)이다. 한편 분산은 다음과 관계를 만족함이 알려져 있다. \[\sigma_{K}^{2} = E[K^{2}]-\bar{K}^{2}.\]여기서 \(\bar{K}\)는 이미 구했으므로 \(E[K^{2}]\)를 구하도록 한다. \[E[K^{2}] = \sum_{k=0}^{n}k^{2}f_{K}(k).\] 이고 이를 찾기 위해 (1)의 양변을 \(x\)에 대해 한 번 더 미분하고 다시 \(x\)를 곱하면 다음과 같다. \[nx(x+q)^{n-1} + n(n-1)x^{2}(x+q)^{n-2} = \sum_{k=0}^{n}k^{2}\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k}.\] 이제 \(x = p\)를 대입하면 \(p+q = 1\)이므로 이를 정리하면 다음과 같다. \[E[K^{2}] = \sum_{k=0}^{n}k^{2}\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k} = np+n^{2}p^{2}-np^{2}.\] 따라서 분산은 다음과 같다. \[\sigma_{K}^{2} = E[K^{2}]-\bar{K}^{2} = (np+n^{2}p^{2}-np^{2})-(np)^{2} = np(1-p) = npq.\]


2010. 2. 3. 21:37

삼각함수의 합차공식에 대한 증명

고등학교 3학년이 되어 심화 미적분을 배우면 삼각함수와 관련된 여러 공식들을 배우게 된다. 이들에 대한 자세한 유도는 책에 있지만 벡터의 내적을 이용한 증명이 가장 단순하고 기억하기 쉬운 것 같다.

코사인이나 사인에 관한 합차공식 중 아무거나 하나만 증명하면 나머지 공식들은 이로부터 우글우글 쏟아져 나오므로 맨 처음 시작만을 적겠다.


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위와 같이 길이가 1인 두 벡터를 생각하자. 이제 두 벡터의 내적을 구하면

\(|1||1|\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta\) 

이다. \(\beta\) 대신에 \(-\beta\)를 대입하면 \(\cos(\alpha+\beta)\)에 대한 공식을 구할 수 있다. 다시 \(\beta\) 대신에 \(\beta-\pi/2\)를 대입하면 \(\sin(\alpha + \beta)\)에 대한 공식을 얻을 수 있다 (\(\cos(\theta-\pi/2) = \sin\theta\)이므로...). 이런 식으로 다른 공식들을 하나씩 증명해 나갈 수 있다.

2009. 8. 10. 07:35

MIT Strang 교수님의 Linear Algebra 강의

자신이 쓴 책 Introduction to Linear Algebra의 강의

http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/CourseHome/index.htm
2008. 9. 21. 01:16

수식 문자모음

α β θ δ σ i²x² x³ cosΘ √ㅠ ∫ ≤V。∮『』【】【 】±×÷∴♂♀≒※→←↑↓≪≫∵∴ ⇒⇔∑∏¤ ≠ ≒ ≤ ≥ < > ≫ ≪ 《 》∑ ∮∫dθ ... σ= ½×π×(R-r)² λ= π² # 0 ¶ ₩ * † ┌ @ ‡ ㅨ § ± ″ ㎂ ½ ¼ ¾ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ Å ↔ ↙↖ ↕ ↘ ↗ ↓ → Θ ≠ ¢ ^ “ £ ♭ ¹ _ ” ¥ ㎼ ◎ ♩ ² ³ ⁴〔 〕∞ ¤ ℉ ℃ 〈 ♂ ‰ ㉿ ⁿ Ξ 、 〉 ♀ ㎕ ₁Ο 。 ∠ ㎖ № ┛ ₂ Π · ⊥ ㎗ ₃ ⌒ ℓ ™ ₄ Σ 」 ∂ ¨ 『 ㏄ Ω ㏘ ┫ 〃 』 ≡ ㎣ ㏀ ← ℡ Φ ㎤ ㏁ ª ╋ ㎥ ㎊ º ┠ Ψ ∥ ㎦ ㎋ Ω \ √ ㎌ 〓 α ∼ ∽ ◁ ∝ ㎛ ㅿ γ ~ ㆀ δ ˇ ∫ ㎝ ㎮ ▶ ε ˘ ∬ ㎯ ζ ∈ ㎟ ㆃ η ˚ ∋ ㎠ ㎩ ♡ ╂ θ ˙ ⊆ ㎡ ι ¸ ⊇ ㎢ ㎫ ♧ ㆆ κ ˛ λ ¡ ㎍ μ ¿ ⊂ ∪ ⊃ ∩ ν ː ξ ∧ Δ △ ▽ ∇ ▷ ☆★○●◎◇◆□■△▲▽▼ ◀ ■ ◆ ● ◐ ◑ ♠ ♣◁◀▷▶♤♠♡♥♧♣⊙◈▣◐◑▒▤▥▨▧▦▩♨☏☎☜ ☞†↗↙↖↘♩♪♬ ▒ ▩ π ρ ⇒ ㏈ ㏆ ┟ σ ⇔ ㎧ ㅛ τ ∀ ㎨ υ ∃ φ ∮ χ ∑ ㎲ ψ ∏ ㅠ ω ㎶ ① ② ③ ④ ㉠ ⓐ ㉮ ㉭ ⓩ ㉻ ⑮
2008. 8. 24. 18:07

시그마 k^2 을 구하는 공식

예비공식:\begin{align} \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}. \tag{1} \end{align}

먼저 \(\sum_{k=1}^{n}k^2 = 1^2\cdot1 + 2^2\cdot1 + \cdots + n^2\cdot1\)이고 이는 밑변의 길이가 1이고 높이가 \(k^2\)인 직사각형들의 넓이를 모두 합한 것과 같다. 한편, 위의 그림에서 같은 색으로 표시된 영역들에 초점을 두고 생각해 보면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.\[\sum_{k=1}^{n}k^2 = (1^2-0^2)n + (2^2-1^2)(n-1) + (3^2-2^2)(n-2) + \cdots + [n^2-(n-1)^2]\cdot1.\]이를 시그마를 이용해 표현하면 다음과 같다.\[\sum_{k=1}^{n}k^2 = \sum_{k=1}^{n}[k^2 - (k-1)^2](n-k+1).\]우변을 전개해서 정리하면 다음과 같은 관계를 얻는다.\begin{align} \sum_{k=1}^{n}k^2 &= \sum_{k=1}^{n}[(2n+3)k - (n+1)] - 2\sum_{k=1}^{n}k^2. \end{align}이제 \(\sum_{k=1}^{n}k^2\)을 한쪽으로 묶고 \(\sum_{k=1}^{n}k\)항들에 (1)을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.\[3\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac1{2}n(n+1)(2n+1).\]그리고 양변을 3으로 나누면 \(\sum_{k=1}^{n}k^2\)을 구하는 공식이 된다.

2008. 4. 13. 00:03

미적분학의 기초

2008. 4. 13. 00:02

선형대수의 기초

2008. 3. 7. 12:38

벡터의 내적

두 벡터 \(\vec{a},\vec{b}\)의 내적은 두 벡터 기호 사이에 점을 찍어 \(\vec{a}\boldsymbol{\cdot}\vec{b}\) 표현하고 \(a\) 내적 \(b\)라고 읽는다. 고등학교 수학에서 벡터의 내적은 다음과 같이 정의한다. \begin{align*} \vec{a}\boldsymbol{\cdot}\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta. \end{align*} 그 의미를 다시 생각해 보면

위의 그림에서 보이듯이 한 벡터를 다른 벡터에 정사영 시킨 크기와 다른 벡터의 크기를 곱한 값이 두 벡터의 내적이 된다 (사잇각이 예각일 경우).
문제

위의 그림과 같이 벡터 \(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)는 시점이 같고 \(\vec{a}\)의 크기는 3이며 \(\vec{a}\)의 종점이 원 위에 있다. 벡터 \(\vec{b}\)가 원의 중심을 지날때 두 벡터의 내적을 구하시오

답 : 9

벡터 \(\vec{a}\)를 벡터 \(\vec{b}\)에 정사영 시킨 크기가 3이므로 답은 3*3=9 임을 쉽게 알 수 있다.


  우리가 쉽게 접하는 일차함수의 그래프 역시 벡터의 내적을 이용해 생각해 볼 수 있다.

위의 그림에서 \(x+y=1\) 의 그래프 위의 모든 벡터들은 벡터 \(\vec{a}\)에 정사영 시키면 벡터 \(\vec{b}\)와 같은 크기를 같는 벡터가 된다. 즉 \((x,y)\boldsymbol{\cdot}(1,1) = 1\)을 만족하는 모든 벡터들이 직선 \(x+y=1\) 위에 그 종점을 두고 있는 것이다. 변수 \(z\)를 추가하여 생각하면 \(x+y+z=1\)이라는 평면의 방정식 역시 \((x,y,z)\boldsymbol{\cdot}(1,1,1) = 1\)로 놓고 생각해 볼 수 있다.

  여기에서 만약 두 벡터가 수직인 경우를 생각해 보자 만약 두 벡터가 수직이라면 한 벡터를 다른 벡터에 정사영시킨 크기는 0이므로 두 벡터의 내적이 항상 0이다. 두 벡터가 수직이라함은 사이각이 90도라는 말이고 따라서 코사인값이 0이므로 내적이 0이다. 이를 이용한 멋진 문제가 또하나 있다.

문제
평면위에 점 \(A\)와 점 \(B\)가 있다. 두 점 사이의 거리가 4라고 하자. 평면위에 임의의 점 \(P\)가 존재하여 벡터 \(\vec{AP}\)와 벡터 \(\vec{BP}\)의 내적이 항상 0이라고 할 때 점 \(P\)가 그리는 자취의 길이는?

답 : \(4\pi\)

문제의 조건에 맞게 그림을 그려 보면 점 \(P\)는 아래 그림처럼 원 위를 움직이는 점임을 알 수 있다. 따라서 점 \(P\)의 자취는 지름이 4인 원의 둘레길이가 되고 따라서 답이 \(4\pi\)이다.