평범한 학생의 공부방

확률변수 \(K\)의 확률분포함수가 \[f_{K}(k)=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}\] 로 주어지는 경우 평균과 분산을 구해본다. 평균을 \(E[K] = \bar{K}\)라 하면 \(\bar{K}\)는 다음과 같다. \[\bar{K} = \sum_{k=0}^{n}kf_{K}(k).\] 여기서는 미분을 이용해 이 값을 구해보도록 한다. \[(x+q)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k}\] 의 양변을 \(x\)에 대해 미분하고 \(x\)를 곱하면 \begin{align}nx(x+q)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k} \tag{1} \end{align}이다. 여기서 \(x = p\)를 대입하면 \(p+q = 1\)이고 (1)의 우변은 \(\bar{K}\)이므로 \(\bar{K} = np\)이다. 한편 분산은 다음과 관계를 만족함이 알려져 있다. \[\sigma_{K}^{2} = E[K^{2}]-\bar{K}^{2}.\]여기서 \(\bar{K}\)는 이미 구했으므로 \(E[K^{2}]\)를 구하도록 한다. \[E[K^{2}] = \sum_{k=0}^{n}k^{2}f_{K}(k).\] 이고 이를 찾기 위해 (1)의 양변을 \(x\)에 대해 한 번 더 미분하고 다시 \(x\)를 곱하면 다음과 같다. \[nx(x+q)^{n-1} + n(n-1)x^{2}(x+q)^{n-2} = \sum_{k=0}^{n}k^{2}\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k}.\] 이제 \(x = p\)를 대입하면 \(p+q = 1\)이므로 이를 정리하면 다음과 같다. \[E[K^{2}] = \sum_{k=0}^{n}k^{2}\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k} = np+n^{2}p^{2}-np^{2}.\] 따라서 분산은 다음과 같다. \[\sigma_{K}^{2} = E[K^{2}]-\bar{K}^{2} = (np+n^{2}p^{2}-np^{2})-(np)^{2} = np(1-p) = npq.\]

고등학교 3학년이 되어 심화 미적분을 배우면 삼각함수와 관련된 여러 공식들을 배우게 된다. 이들에 대한 자세한 유도는 책에 있지만 벡터의 내적을 이용한 증명이 가장 단순하고 기억하기 쉬운 것 같다.

코사인이나 사인에 관한 합차공식 중 아무거나 하나만 증명하면 나머지 공식들은 이로부터 우글우글 쏟아져 나오므로 맨 처음 시작만을 적겠다.

위와 같이 길이가 1인 두 벡터를 생각하자. 이제 두 벡터의 내적을 구하면

\(|1||1|\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta\) 

이다. \(\beta\) 대신에 \(-\beta\)를 대입하면 \(\cos(\alpha+\beta)\)에 대한 공식을 구할 수 있다. 다시 \(\beta\) 대신에 \(\beta-\pi/2\)를 대입하면 \(\sin(\alpha + \beta)\)에 대한 공식을 얻을 수 있다 (\(\cos(\theta-\pi/2) = \sin\theta\)이므로...). 이런 식으로 다른 공식들을 하나씩 증명해 나갈 수 있다.

예비공식:\begin{align} \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}. \tag{1} \end{align}

먼저 \(\sum_{k=1}^{n}k^2 = 1^2\cdot1 + 2^2\cdot1 + \cdots + n^2\cdot1\)이고 이는 밑변의 길이가 1이고 높이가 \(k^2\)인 직사각형들의 넓이를 모두 합한 것과 같다. 한편, 위의 그림에서 같은 색으로 표시된 영역들에 초점을 두고 생각해 보면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.\[\sum_{k=1}^{n}k^2 = (1^2-0^2)n + (2^2-1^2)(n-1) + (3^2-2^2)(n-2) + \cdots + [n^2-(n-1)^2]\cdot1.\]이를 시그마를 이용해 표현하면 다음과 같다.\[\sum_{k=1}^{n}k^2 = \sum_{k=1}^{n}[k^2 - (k-1)^2](n-k+1).\]우변을 전개해서 정리하면 다음과 같은 관계를 얻는다.\begin{align} \sum_{k=1}^{n}k^2 &= \sum_{k=1}^{n}[(2n+3)k - (n+1)] - 2\sum_{k=1}^{n}k^2. \end{align}이제 \(\sum_{k=1}^{n}k^2\)을 한쪽으로 묶고 \(\sum_{k=1}^{n}k\)항들에 (1)을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.\[3\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac1{2}n(n+1)(2n+1).\]그리고 양변을 3으로 나누면 \(\sum_{k=1}^{n}k^2\)을 구하는 공식이 된다.

출처 : 밝히리님 블로그

http://blog.daum.net/eigenvalue/10856412

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문제 위의 그림과 같이 벡터 \(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)는 시점이 같고 \(\vec{a}\)의 크기는 3이며 \(\vec{a}\)의 종점이 원 위에 있다. 벡터 \(\vec{b}\)가 원의 중심을 지날때 두 벡터의 내적을 구하시오 답 : 9

문제의 조건에 맞게 그림을 그려 보면 점 \(P\)는 아래 그림처럼 원 위를 움직이는 점임을 알 수 있다. 따라서 점 \(P\)의 자취는 지름이 4인 원의 둘레길이가 되고 따라서 답이 \(4\pi\)이다.