시그마 k^2 을 구하는 공식

예비공식: $$\begin{align} \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}. \tag{1} \end{align}$$

먼저 $\sum_{k=1}^{n}k^2 = 1^2\cdot1 + 2^2\cdot1 + \cdots + n^2\cdot1$이고 이는 밑변의 길이가 1이고 높이가 $k^2$인 직사각형들의 넓이를 모두 합한 것과 같다. 한편, 위의 그림에서 같은 색으로 표시된 영역들에 초점을 두고 생각해 보면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다. $$\sum_{k=1}^{n}k^2 = (1^2-0^2)n + (2^2-1^2)(n-1) + (3^2-2^2)(n-2) + \cdots + [n^2-(n-1)^2]\cdot1.$$ 이를 시그마를 이용해 표현하면 다음과 같다. $$\sum_{k=1}^{n}k^2 = \sum_{k=1}^{n}[k^2 - (k-1)^2](n-k+1).$$ 우변을 전개해서 정리하면 다음과 같은 관계를 얻는다. $$\begin{align} \sum_{k=1}^{n}k^2 &= \sum_{k=1}^{n}[(2n+3)k - (n+1)] - 2\sum_{k=1}^{n}k^2. \end{align}$$ 이제 $\sum_{k=1}^{n}k^2$을 한쪽으로 묶고 $\sum_{k=1}^{n}k$항들에 (1)을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다. $$3\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac1{2}n(n+1)(2n+1).$$ 그리고 양변을 3으로 나누면 $\sum_{k=1}^{n}k^2$을 구하는 공식이 된다.