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2010.02.03 21:37

삼각함수의 합차공식에 대한 증명

고등학교 3학년이 되어 심화 미적분을 배우면 삼각함수와 관련된 여러 공식들을 배우게 된다. 이들에 대한 자세한 유도는 책에 있지만 벡터의 내적을 이용한 증명이 가장 단순하고 기억하기 쉬운 것 같다.

코사인이나 사인에 관한 합차공식 중 아무거나 하나만 증명하면 나머지 공식들은 이로부터 우글우글 쏟아져 나오므로 맨 처음 시작만을 적겠다.


사용자 삽입 이미지


위와 같이 길이가 1인 두 벡터를 생각하자. 이제 두 벡터의 내적을 구하면

\(|1||1|\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta\) 

이다. \(\beta\) 대신에 \(-\beta\)를 대입하면 \(\cos(\alpha+\beta)\)에 대한 공식을 구할 수 있다. 다시 \(\beta\) 대신에 \(\beta-\pi/2\)를 대입하면 \(\sin(\alpha + \beta)\)에 대한 공식을 얻을 수 있다 (\(\cos(\theta-\pi/2) = \sin\theta\)이므로...). 이런 식으로 다른 공식들을 하나씩 증명해 나갈 수 있다.

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  1. dkdi 2013.04.15 17:38 address edit & del reply

    넌 이게 증명이니?

  2. James 2014.01.05 07:55 address edit & del reply

    재미있게 쓰셨는데요