2010. 7. 6. 23:17

이항분포의 평균과 분산

확률변수 \(K\)의 확률분포함수가 \[f_{K}(k)=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}\] 로 주어지는 경우 평균과 분산을 구해본다. 평균을 \(E[K] = \bar{K}\)라 하면 \(\bar{K}\)는 다음과 같다. \[\bar{K} = \sum_{k=0}^{n}kf_{K}(k).\] 여기서는 미분을 이용해 이 값을 구해보도록 한다. \[(x+q)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k}\] 의 양변을 \(x\)에 대해 미분하고 \(x\)를 곱하면 \begin{align}nx(x+q)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k} \tag{1} \end{align}이다. 여기서 \(x = p\)를 대입하면 \(p+q = 1\)이고 (1)의 우변은 \(\bar{K}\)이므로 \(\bar{K} = np\)이다. 한편 분산은 다음과 관계를 만족함이 알려져 있다. \[\sigma_{K}^{2} = E[K^{2}]-\bar{K}^{2}.\]여기서 \(\bar{K}\)는 이미 구했으므로 \(E[K^{2}]\)를 구하도록 한다. \[E[K^{2}] = \sum_{k=0}^{n}k^{2}f_{K}(k).\] 이고 이를 찾기 위해 (1)의 양변을 \(x\)에 대해 한 번 더 미분하고 다시 \(x\)를 곱하면 다음과 같다. \[nx(x+q)^{n-1} + n(n-1)x^{2}(x+q)^{n-2} = \sum_{k=0}^{n}k^{2}\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k}.\] 이제 \(x = p\)를 대입하면 \(p+q = 1\)이므로 이를 정리하면 다음과 같다. \[E[K^{2}] = \sum_{k=0}^{n}k^{2}\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k} = np+n^{2}p^{2}-np^{2}.\] 따라서 분산은 다음과 같다. \[\sigma_{K}^{2} = E[K^{2}]-\bar{K}^{2} = (np+n^{2}p^{2}-np^{2})-(np)^{2} = np(1-p) = npq.\]