이항분포의 평균과 분산

확률변수 $K$의 확률분포함수가 $$f_{K}(k)=\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}$$ 로 주어지는 경우 평균과 분산을 구해본다. 평균을 $E[K] = \bar{K}$라 하면 $\bar{K}$는 다음과 같다. $$\bar{K} = \sum_{k=0}^{n}kf_{K}(k).$$ 여기서는 미분을 이용해 이 값을 구해보도록 한다. $$(x+q)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k}$$ 의 양변을 $x$에 대해 미분하고 $x$를 곱하면 $$\begin{align}nx(x+q)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k} \tag{1} \end{align}$$ 이다. 여기서 $x = p$를 대입하면 $p+q = 1$이고 (1)의 우변은 $\bar{K}$이므로 $\bar{K} = np$이다. 한편 분산은 다음과 관계를 만족함이 알려져 있다. $$\sigma_{K}^{2} = E[K^{2}]-\bar{K}^{2}.$$ 여기서 $\bar{K}$는 이미 구했으므로 $E[K^{2}]$를 구하도록 한다. $$E[K^{2}] = \sum_{k=0}^{n}k^{2}f_{K}(k).$$ 이고 이를 찾기 위해 (1)의 양변을 $x$에 대해 한 번 더 미분하고 다시 $x$를 곱하면 다음과 같다. $$nx(x+q)^{n-1} + n(n-1)x^{2}(x+q)^{n-2} = \sum_{k=0}^{n}k^{2}\binom{n}{k}x^{k}q^{n-k}.$$ 이제 $x = p$를 대입하면 $p+q = 1$이므로 이를 정리하면 다음과 같다. $$E[K^{2}] = \sum_{k=0}^{n}k^{2}\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k} = np+n^{2}p^{2}-np^{2}.$$ 따라서 분산은 다음과 같다. $$\sigma_{K}^{2} = E[K^{2}]-\bar{K}^{2} = (np+n^{2}p^{2}-np^{2})-(np)^{2} = np(1-p) = npq.$$