평범한 학생의 공부방

직선의 방정식 \(ax+by+c=0\)에서 \((a,b)\)는 직선에 수직인 방향의 벡터임을 이미 알고있다. 직선 위의 한 점 \((x,y)\)와 점 \((m,n)\)을 끝점으로 하는 벡터 \((x-m,y-n)\)을 생각하면 \((a,b)\)와 \((x-m,y-n)\)의 내적은 다음과 같다. \begin{align} \label{EQ:1} (x-m,y-n)\boldsymbol{\cdot}(a,b) = \|(x-m,y-n)\|\|(a,b)\|\cos\theta.\tag{1} \end{align} 직선과 점 \((m,n)\) 사이의 거리를 \(r\)이라 두면 \(r = \|(x-m,y-n)\| |\cos\theta|\)이므로 식 (\ref{EQ:1})의 양변에 절대값을 취하고 \(ax+by = -c\)임을 이용하여 정리하면 다음을 얻는다. \begin{align*} r = |(x-m,y-n)\boldsymbol{\cdot}(a,b)|\frac{1}{\|(a,b)\|} = \frac{|am+bn+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. \end{align*} 주로 많이 알려져 있는 삼각형의 넓이를 이용한 유도나 이전 포스팅에서 설명한 미분을 이용한 방법보다 훨씬 간단하고 식도 자연스럽게 받아들여진다. 하지만 이러한 간단함을 위해 벡터와 벡터의 내적이라는 개념을 알아야 하는 대가가 필요하다.

참고로 위의 결과를 3차원 공간에 존재하는 평면 \(ax+by+cz+d=0\)와 점 \((x_{1},y_{1},z_{1})\)으로 확장해도 마찬가지로 쉽게 점과 평면 사이의 거리를 구할 수 있다. 결과는 다음과 같다. \begin{align*} r = \frac{|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \end{align*} \(n\)차원 공간에서의 결과는 어떻게 되겠는가?

평면 위에서 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도하는 방법은 여러가지가 있지만 여기서는 미분을 이용한 방법을 알아보자. 평면 위의 직선을 \(ax+by+c=0\), \(a\ne 0\) or \(b \ne 0\),으로 표현하고 이 직선으로부터의 거리를 구할 임의의 점을 \((m,n)\)이라 두자. 직선 위의 임의의 점 \((x,y)\)와 점 \((m,n)\) 사이의 거리를 \(r\)이라 두면 \(r\)은 다음과 같은 관계를 만족한다. \begin{align}r^{2} = (x-m)^2 + (y-n)^{2}. \tag{1}\end{align} 직관적으로 \(r^{2}\)은 하나의 최소값만을 가짐을 알 수 있다. 이제 \(y = (-ax-c)/b\)를^[각주:1] 식 (1)에 대입하면 \begin{align}r^{2} = (x-m)^2 + \left(\frac{-ax-c}{b}-n\right)^{2} \tag{2} \end{align} 이고 이를 \(x\)에 대해 미분하면 다음과 같은 관계를 얻는다. \begin{align} \frac{d(r^{2})}{dx} = 2(x-m) + 2\left(\frac{-ax-c}{b} - n\right)\frac{-a}{b}. \tag{3} \end{align} 이제 식 (3)의 우변을 0과 같다고 놓고 \(x\)에 대해 풀면 \(x = (-ac+b^{2}m-abn)/(a^2 + b^2)\)을 얻는다. 따라서, 구한 \(x\)를 식 (2)에 대입하면 다음을 얻는다. \begin{align*} r = \frac{|am + bn + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \end{align*}